导数极限定理

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分段导数求导方法

1. 导数定义
2. 导数极限定理

导数极限定理使用条件

1. $f(x)$在$x_0$处连续且$f(x)$在$x_0$去心领域可导
2. $lim_{x\to x_0^+}f’(x)=A或\infty$

正文

对于分段函数求导，我们有两种方法，但我们往往是使用导数的定义来进行求解，即：

\[f'(x_{0})=\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } }\]

但是，有没有想过，这个点的左导数是不是就等于左边曲线的在趋于这个点的值呢，因为我们求分段函数的极限的时候，往往会先求出连续区间的导数，然后再去求分段点的导数，此时我们已经求出了连续区间的导数，如果真的可以用连续区间的导数极限来代替分段点的导数，那岂不美哉。

事实上，我们确实可以这样做，但是，有一些条件：

1. $f(x)$在$x_0$处连续且$f(x)$在$x_0$去心领域可导
2. $lim_{x\to x_0^+}f’(x)=A或\infty$

实际上，我们用洛必达法则来看这三个条件：

\[f'_{+}(x_{0})=\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 }^{+} } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } = \lim _ { x \rightarrow x_{0}^{+} } f' ( x ) = f '( x^{+} _ { 0 } )\]

上述式子我们使用了洛必达法则，洛必达法则使用的条件是：

1. $f(x)$、$g(x)$在$x_0$处去心领域可导
2. 式子是$0/0$形或$\infty/\infty$形
3. $lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A或\infty$

上面推导过程中的$g(x)$为$x-x_0$是满足条件的，而且式子本身就是0/0形，而要保证$f(x)在$x_0$处的极限为$f(x_0)$，就需要新增一个条件，也就是上面相比洛必达法则新增的的第一个条件中的$f(x)在$x_0$处连续。